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We research a non–autonomous, non-linear evolution equation at the house of operators on a posh Hilbert house. We specify assumptions that make sure the worldwide life of its recommendations and make allowance us to derive its asymptotics at temporal infinity. We reveal that those assumptions are optimum in an appropriate feel and extra basic than these used earlier than. The evolution equation derives from the Brocket–Wegner move that was once proposed to diagonalize matrices and operators by way of a strongly non-stop unitary movement. in truth, the answer of the non–linear circulate equation ends up in a diagonalization of Hamiltonian operators in boson quantum box conception that are quadratic within the box.

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La notation * ) [P F F P F F * * * représente l'ensemble des tirages commençant par la succession PFFPFF, et dont la suite est quelconque. Un tel événement est de probabilité 1/26. De même, si un événement s'écrit, symboliquement, comme une succession de symboles de l'en­ semble {P, F, * } , avec n symboles P ou F, le reste étant constitué de jokers, on lui attribue naturellement une probabilité 1/2 n . Pouvons-nous, à partir de ces quelques propriétés, déterminer les probabilités de tous les événements qui peuvent nous intéresser< 2 1> ?

Des indications suivent le groupe des énoncés. Les solutions suivent le groupe des indications. + Eœercice 1 . 1 (Le paradoœe des anniversaires de von Mises) Calculer le nombre mini­ mal de personnes dans une classe donnée tel que la probabilité qu'au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour soit au moins 1/2. ) + Eœercice 1 . 2 Une petite taupe entre dans son terrier par l'entrée A. A chaque intersection, elle a (indépendamment des choix précédents) une chance sur deux de prendre à gauche et une chance sur deux de prendre à droite.

En ce sens, la théorie des probabilités ressemble aux théories physiques : modélisation, vérification de l'adéquation du modèle, prévision de nouveaux phé­ nomènes. Exemple 1 . 1 L'étude répétée de lancers d'une pièce équilibrée (tirage à pile ou face) permet de se rendre compte que : • chaque face tombe un nombre de fois approximativement égal au nombre total de lancers, divisé par 2 ; • la fréquence relative d'obtention d'une face s'approche d'autant mieux de 1/2 que l'on effectue un grand nombre de lancers ; • le résultat d'un lancer est indépendant du résultat des lancers précédents : par exemple, avoir eu deux pile de suite ne diminue en rien la probabilité d'obtenir un nouveau pile au lancer suivant.

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