Read e-book online Analysis 1 PDF

By Forster, O.

ISBN-10: 3834803952

ISBN-13: 9783834803955

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7) F¨ur jede reelle Zahl x hat man die Folge ihrer Potenzen: (xn )n∈N = (1, x, x2 , x3 , x4 , . . ) . Definition. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R, falls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε f¨ur alle n N. Man beachte, dass die Zahl N von ε abh¨angt. Im Allgemeinen wird man N umso gr¨oßer w¨ahlen m¨ussen, je kleiner ε ist. Konvergiert (an ) gegen a, so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt lim an = a oder kurz n→∞ lim an = a .

Konvergiert die Folge (sm )m∈N der Partialsummen, so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit ∑∞ n=0 an bezeichnet und heißt dann Summe der Reihe. ∞ Das Symbol ∑ an bedeutet also zweierlei: n=0 m i) Die Folge ∑ an n=0 m∈N der Partialsummen. m ∑ an . m→∞ ii) Im Falle der Konvergenz den Grenzwert lim n=0 § 4 Folgen, Grenzwerte 38 Entsprechend sind nat¨urlich Reihen ∑∞ n=k an definiert, bei denen die Indexmenge nicht bei 0 beginnt. ¨ Ubrigens l¨asst sich jede Folge (cn )n∈N auch als Reihe darstellen, denn es gilt n cn = c0 + ∑ (ck − ck−1 ) f¨ur alle n ∈ N .

Der Ubergang von x zu −x bedeutet eine Spiegelung am Nullpunkt; dabei werden die Rollen von rechts und links vertauscht. 1 Die Zahlengerade a+x a+y ✲ § 3 Die Anordnungs-Axiome 22 (Es ist nat¨urlich nur eine Konvention, dass die Zahlen in Richtung von links nach rechts gr¨oßer werden; man h¨atte genauso gut die andere Richtung w¨ahlen k¨onnen. 5) x < y und a < b =⇒ x+a < y+b Beweis. 3) folgt aus den Voraussetzungen a + x < a + y und y + a < y + b. Wegen der Transitivit¨at ergibt sich daraus x + a < y + b.

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